Theoretische Mechanik
Wilhelm Kley / Jochen Peitz
Universität Tübingen
Vorlesung im SS 2002
Überblick über den Inhalt der Vorlesung:
Kapitel
1. Mathematische Vorbemerkungen
Grundlagen der Vektor- und Tensorrechnung
1.1 Grundlagen
1.2 Vektoren
Komponentendarstellung, Einheitsvektoren,
Skalarprodukt, Ortsvektor, Vektorprodukt
1.3 Transformationseigenschaften
Verhalten bei Rotationen, Matrizen,
Orthogonale Transformationen
1.4 Differential Operatoren
Zeitableitungen, Gradient, Divergenz, Rotation
2. Newton'sche Mechanik
2.1 Grundbegriffe
Massenpunkt, Bahnkurve, natürliche Koordinaten
(Tangenten- Normalenvektor, Krümmungsradius)
2.2 Krummlinige Koordinaten
2.3 Voraussetzungen der Newton'schen Mechanik
absoluter Raum, Zeit, Kräfte, Trägheit
2.4 Newton'sche Axiome
2.5 Inertialsysteme
2.6 Galilei'sches Relativitätsprinzip
2.7 Beschleunigte Bezugssysteme und Trägheitskräfte
3. Dynamik von Massenpunkten
3.1 Vorbemerkungen
3.2 Eindimensionale Bewegung
freier Fall im homogenen Schwerefeld,
Reibung, freier Fall mit Reibung
3.3 Das Potential
Eindimensionale Betrachtungen:
rein ortsabhängige Kräfte, Energiesatz
3.4 Erhaltungssätze
Impulserhaltung, Drehimpulserhaltung, Zentralkraft,
Flächensatz, Energieerhaltung, konservative Kraftfelder
3.5 Mathematische Erg.: Begriffe aus der Vektoranalysis
Totales Differential, Gradient, Divergenz, Rotation,
Gauss'scher-, Stokes'scher Satz, Nabla-Operator
3.6 Gravitationskraft
Punktmasse, kontinuierliche Massenverteilung
4. Massenpunktsysteme
4.1 Erhaltungsätze
Schwerpunktsatz/Impulserhaltung, Drehimpulserhaltung,
Energieerhaltung
4.2 Zweikörperproblem
Reduktion auf 1D-Problem, eff. Potential, Kepler/Coulomb,
Bahngleichung: Kegelschnitte, Kepler'schen-Gesetze,
ungeb. Bahnen, Streuung, parametrisierte Lsg., Kepler-Gleichung,
Virialsatz
5. Oszillationen
5.1 Eindimensionaler Fall ohne Reibung
Linearisierung, Hooke'sche Kraft, Faden- Federpendel
Integration mit Energiesatz, allg. Ansatz, Phasenbahnen
5.2 1D-Oszillator mit Reibung und externer Kraft
erzwungene Schwingung, Resonanz
5.3 Mehrdimensionaler Oszillator
Allgemein, Diagonalisierung, Normalkoordinaten,
harmonischer Oszillator in 2D
5.4 Gekoppelte Schwingung zweier Massenpunkte
Entkopplung, Normalmoden, Eigenfrequenzen
5.5 Nichtlineare Schwingungen/Chaos
Fadenpendel, Phasendiagramm, getriebenes
nicht-lineares Pendel, Poincare Schnitt,
diskrete Abbildung, Lyapunov Exponent,
logistische Abbildung
6. Zwangsbedingungen/Zwangskräfte
6.1 Problemstellung
6.2 Arten von Zwangsbedingungen
Holonome, anholonome, skleronome, rheonome, Bsple.
6.3 Langrangegleichungen 1. Art, d'Alembertsches Prinzip
eingeprägte Kräfte, Langrangesche Multiplikatoren,
virtuelle Verückungen, Langrangegleichungen 1. Art,
d'Alembertsches Prinzip
6.4 Energiesatz
6.5 Lösungsmethoden für Lagrange 1. Art
Allg. Lösungsschema, Beispiel: MP auf geneigter Ebene.
6.6 Beispiele
Statik: MP auf Ellipsoid, Fadenpendel, einseitige Bindungen,
Wellrad.
7. Lagrangesche Mechanik
7.1 Generalisierte Koordinaten
7.2 d'Alembertsches Prinzip in verallg. Koord.
Elimination der Zwangsbed., verallg. Kräfte,
holonome Zwangsbed.
7.3 Lagrangefunktion
Lagrangegleichungen, Lösungsschema, zyklische Koord.
konjugierte Impulse
7.4 Erhaltungsgrössen
Energiesatz und Zeittranslationen, Impulssatz und
Raumtranslationen, Drehimpulssatz, Homogenität und
Isotropie des Raumes, Neother-Theorem
7.5 Eichinvarianz
7.6 Forminvarianz
Punkttransformationen, Trafo. auf krummlinige Koord.
7.7 Beispiele
Elektron im elektromagnetischen Feld, Beschleunigung in bel.
orthogonalen Koord.-Systemen
8. Mechanik des starren Körpers
8.1 Definitionen/Konzepte
starrer Körper, Freiheitsgrade
8.2 Kinematik
Inertial- und raumfestes Koordinaten-System, Drehungen,
Winkelgeschwindigkeit, kinetische Energie, Drehimpuls,
Trägheitstensor, Hauptachsentransformation
Beispiele: Homogener Würfel, 3 atomiges Molekül
8.3 Steinerscher Satz
8.4 Eulersche Gleichungen
Eulersche Winkel, Drehimpulsbilanzgleichungen (Eulersche Gl.)
8.5 Kräftefreie Bewegung
Rotation um freie Achsen, Stabilitätsverhalten,
Kräftefreier symmetrischer Kreisel
8.6 Kreisel im Lagrangeformalismus
schwerer
symmetrischer Kreisel, Stehaufkreisel
9. Hamiltonsches Prinzip
9.1 Variationsrechnung
9.2 Beispiele
geodätische Linien, Brachyystochrone, mehrere Variablen
9.3 Hamiltonsches Prinzip
9.4 Erweiterungen
Nichtkons. Kräfte, Zwangsbedingungen,
Eichtransformationen, Bspl.
10. Hamiltonsches Mechanik
10.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
10.2 Beispiele
harm. Oszillator, gel. Teilchen im el.mag. Feld
10.3 Modifiziertes Hamilton Prinzip
10.4 Poissonklammern
Definiton, Rechenregeln, fundamentale Poissonklammern,
Bewegungsgleichungen mit
Poissonklammern, Satz von Poisson
10.5 Kanonische Transformationen
Konstruktionsverfahren, Erzeugende, F5, F1, Legendre-Transformation
Beispiele für kanonische Trans.,
Zusammenhang zwischen Erzeugenden, harm. Oszillator.
10.6 Infinitesimale kanonische Transformationen
10.7 Hamilton-Jacobische Theorie
Hamilton-Jacobi Gleichung, Abgeschlossenes System,
Separation, Bspl. 1D-Potentialproblem
10.8 Struktur der kanonischen Gleichungen
Phasenraum, symplektische -Metrik, -Gruppe,
Invarianz des Phasenraumvolumens, Satz von Lionville,
Lionville Gleichung.
11. Relativistische Mechanik
11.1 Relativitätsprinzip
Galileisches und Einsteinsches Relativitätsprinzip
11.2 Lorentztransformationen
Abstand von Ereignissen, Linienelement,
Minkowski-Metrik,
Spezielle Lorentztransformationen,
Rapidität
11.3 Minkowski-Raum
Längenkontraktion, Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon
Addition von Geschwindigkeiten, Raum-Zeit-Diagramme,
Vierervektor, Lichtkegel, Gleichzeitigkeit.
11.4 Relativistische Mechanik
Eigenzeit,
Vierergeschwindigkeit, Viererbeschleunigung,
Energie-Impuls-Vierervektor, relativistische Masse
Last Modification: July, 10th, 2002